Im Rahmen der EU-Erweiterung am 1. Mai 2004 wurde in den Medien das Westerwald-Nest Kleinmaischeid als die neue Mitte angegeben. Wie kommt man zu dieser "Erkenntnis"? Zwei Studierende fragten mich heute (am 1. Mai) in einer E-Mail: "... ob es nicht mit Hilfe der Mathematik und Informatik möglich ist, einen präzisen Punkt zu bestimmen, der die genaue Mitte der erweiterten EU angibt."

Bevor man mit mathematischen Berechnungen anfängt, muss man sich zunächst einmal über die "Spielregeln" einigen. Und genau da liegt der Hase im Pfeffer:

So könnte man z. B. mit dem Mittelpunkt der EU den Punkt meinen, von dem der weitest entfernte Ort möglichst nah ist (also den Mittelpunkt des Umkreises). Dann läge (wenn man die Kanarischen Inseln, Madeira etc. weglässt) die Mitte im Westen von Tschechien (Abb. 1). Wie man aus der Abbildung erkennt, hat unter den zehn neuen Staaten nur Zypern zur Verschiebung des Umkreismittelpunkts beigetragen.

Bei der Kür von Kleinmaischeid wurde angeblich der Schwerpunkt ermittelt.

Aber auch der Schwerpunkt der EU ist keinesfalls eindeutig definiert: Wie tief in den Boden erstreckt sich die EU? Wird das Gewicht der Berge berücksichtigt? Um einfacher rechnen zu können, wird man offenbar nur einen gleichmäßig dichten Teppich ausbreiten und dessen Schwerpunkt bestimmen.
Damit hören die Fragen aber nicht auf: Gehören z. B. die großen Binnenseen in Schweden mit zur Fläche, aber das Stettiner Haff nicht (weil es zum Meer geöffnet ist)?
Hat man diese Fragen geklärt, benötigt man für ein genaues Ergebnis exakte geografische Daten und muss die kugelähnliche Form der Erde berücksichtigen. Übrigens liegt der so ermittelte Schwerpunkt wegen eben dieser Kugelform viele Kilometer unterhalb der Erdoberfläche.

Die Berechnung des Schwerpunktes ist -- wenn man sich auf das Flächenmodell geeinigt hat, und wenn genaue geografischen Daten zur Verfügung stehen -- das einfachste Teilproblem. Man erhält die Koordinaten des Schwerpunkts des Gebiets G aus dem Integral der Koordinate ("Hebelarm") über das Gebiet, geteilt durch die Fläche A(G):

Allerdings kann man nicht einfach eine beliebige Karte aus einem Atlas verwenden, weil bei der Projektion der kugelähnlichen Erde in die Ebene immer Kompromisse eingegangen werden müssen. Abb. 2 zeigt ein Extrembeispiel: Wenn man die grüne Form ausschneidet, liegt der Flächenschwerpunkt rechts außerhalb der Fläche. Tatsächlich ist er natürlich genau auf dem mittleren Längenkreis.

Das "Geoid" (die Erdoberfläche in Meereshöhe) ist einer Kartoffel ähnlich, die von einem Rotationsellipsoid um bis zu etwa 100 m nach oben und unten abweicht.
Beim Gebiet der EU ist der Fehler nicht groß, wenn man die Erde als Kugel ansieht und diese auf eine Tangentialfläche projiziert, die etwa in der Mitte der EU anliegt. Ich habe mit dem Encarta Weltatlas zunächst eine politische Europakarte mit einer solchen Projektion erzeugt (ungefähre EU-Mitte in Kartenmitte).
Durch Flutfüllung der EU-Länder und einfache Nachbearbeitung in einem Malprogramm ergab sich daraus die in Abb. 1 verkleinerte Schwarzweiß-Karte.
Nun braucht man nur noch ein Programm zum Pixelzählen.

Hier sehen Sie eine komplette Schwerpunktberechnung in C++ mit der Qt-Grafikbibliothek:

#include 
#include 
#include 

int main(int argc, char* argv[]) {
  QApplication myapp (argc, argv);
  QImage img("c:\\Uni\\Math-Inf\\EU-2004\\eu-3-mono.png");
  int area=0, xsum = 0, ysum = 0;
  // Diskretes Integral über alle schwarzen Pixel:
  for (int x=0; x
  

Das C++-Programm gibt die Pixelkoordinaten des Schwerpunkts aus. Wenn man diesen Punkt in der (noch nicht nachbearbeiteten) Karte markiert (Abb. 3), landet man nicht in Kleinmaischeid sondern in der Nähe von Marburg.
Das bestätigt das Ergebnis, das Herr Kollege Oltersdorf mit einem aus Modelliermasse ausgeschnitten Modell durch Ausbalancieren ermittelt hat (Westfälische Rundschau, 28. 04. 04).
Auch wenn man die Kanarischen Inseln (die zwar zur EU aber nicht zu Europa gehören) mit hinzunimmt, bleibt der der Schwerpunkt in der Nähe von Marburg. Es wäre erstaunlich, wenn der Kartenfehler wirklich so groß wäre.
Wurde Kleinmaischeid mit anderen Spielregeln ermittelt?